Sejarah dan Konsep Aljabar Boolean

A. Sejarah Aljabar Boolean

Konsep dasar Al-Jabar Boole (Boolean Algebra) telah diletakkan oleh seorang matematissi inggris George Boole, pada tahun 1854. Konsep dasar itu membutuhkan waktu yang cukup lama untuk disadari kegunaannya, baik dalam bidang matematika maupun dalam bidang teknik.

Pada tahun 1938 Claude Shannon, seorang ahli komunikasi, memanfaatkan dan meyempurnakan konsep Boole tersebut. Sekarang ini, aljabar Boole memegang peranan yang sangat penting, tidak saja dalam logika, tetapi juga bidang lain seperti teori peluang/kemungkinan, teori informasi/komunikasi, teori himpunan dan lain-lain. Teori ini juga dipakai dalam merangcang komputer elektronik dengan menerjemahkan ke dalam rangkaian saklar (switching circuits) yang pada dasarnya adalah logika, tertutup atau terbuka, mengalirkan arus listrik atau tidak.

B. Konsep dasar Aljabar Boolean

Perubah Boole hanya dapat berkeadaan satu dari dua keadaan 0 dan 1. Jika , kalau satu perubah di OR-kan dengan 0 maka hasilnya akan tidak berubah sedangkan bila satu perubah di OR-kan dengan 1. Maka apapun keadaan perubah itu sebelumnnya akan menjadi 1. Tetapi bila satu perubah di AND-kan dengan 1, maka hasilnya tidak akan berubah sedangkan bila di AND-kan dengan 0, apapun keadaan perubah itu sebelumnya akan berubah menjadi 0.

Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf afabet dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan dan suatu ekpresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel operasi logik dan tanda kurung.

Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhunbungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berati suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan olehGeorge Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operai-operai memenuhi aturan tertentu.

Misalkan B adalah himpunan yang tidak kosong dengan operasi bbiner + dan *, operasi unar ‘ dan 2 elemen yang berbeda 0 serta 1. Maka himpunan B tersebut dikatakan ALJABAR BOOLEAN jika mememnuhi aksioma dibawah ini dengan a,b,c adalah sebarang elemen B.

[B1] Hukum Komutatif :

(1a) a+b = b+a

(1b) a*b = b*a

[B2] Hukum Distributif :

(2a) a+(b*c) = (a+b)*(a+c)

(2b) a*(b+c) = (a*b)+(a*c)

[B3] Hukum Identitas

(3a) a+O = a

(3b) a*1 =a

[B4] Hukum Komplemen

(4a) a+a’ = 1

(4b) a*a’ =0

C. Aljabar Boolean Dua-Nilai

Aljabar Boolean yang terkenal dan memiliki terapan yang luas adalah aljabar Boolean dua- nilai (two-valued Boolean algebra). Aljabar Boolean dua-nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 (sering dinamakan bit – singkatan dari binary digit), yaitu B = {0, 1}, operator biner, + dan . operator uner, ‘. Kaidah untuk operator biner dan operator uner ditunjukkan pada Tabel di bawah ini.

Kita harus memperhatikan bahwa keempat aksioma di dalam definisi 0.1 terpenuhi pada himpunan B = {0, 1} dengan dua operator biner dan satu operator uner yang didefinisikan di atas.

1. Identitas : jelas berlaku karena tabel dapat kita lihat bahwa :

(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1

(ii) 1 . 0 = 0 . 1 = 0

yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1 seperti yang didefinisikan pada

postulat Huntington.

2. Komutatif : jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.

3. Distributif :

(i) a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas, dengan membentuk tabel kebenaran untuk semua nilai yang mungkin dari a, b, dan c

Oleh karena nilai – nilai pada kolom a . (b + c) sama dengan nilai – nilai pada kolom (a . b) + (a . c), maka kesamaan a . (b + c) = (a . b) + (a . c) adalah benar.

(ii) Hukum distributif a + (b . c) = (a + b) . (a + c) dapat ditunjukkan benar

dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).

Tabel 2.0 Tabel kebenaran a . (b + c) = (a . b) + (a . c)